Názov: Teória čísel a jej aplikácie
Číslo: APVV SK-CZ-0098-07
Doba riešenia: 2008-2009
Zodpovedný riešiteľ: Doc. RNDr. Oto Strauch, DrSc
Zodpovedný riešiteľ na ústave: Doc. RNDr. Vladimír Baláž, PhD
Partneri: SAV Bratislava, Ostravska Univerzita, Akadémia vied ČR

Anotácia:

Rozvoj teórie čísel a jej aplikácií v týchto konkrétnych oblastiach: dynamické systémy a ich aplikácie v rovnomernom rozdelení, hustoty v celých číslach, rovnomerné rozdelenie postupností, generátory náhodných čísel, quasi–Monte Carlo metódy a distribučné funkcie.

Klúčové slová:

Postupnosti , dynamické systémy, hustoty, kvasi–Monte Carlo metódy, rovnomerné rozdelenie, distribučné funkcie, náhodné číselne generátory

Ciele projektu:

Cieľom projektu je nájsť v úzkej medzinárodnej spolupráci nové výsledky a ich aplikácie v nasledujúcich oblastiach teórie čísel:

1. Teória generovania pseudonáhodných čísel, 2. Teória hustôt na množine prirodzených čísel. Obe teórie súvisia prostredníctvom teórie rovnomerne rozdelených postupností, ktorých definícia vychádza z pojmu hustoty. Jedna z aplikácií je pri numerickom výpočte integrálu metódou quasi–Monte Carlo. Ďalej presnejšie rozpíšeme naše ciele. Generátorom náhodných čísel nazývame každý fyzikálny proces merania, pri ktorom každé ďalšie meranie je nezávislé. Pseudonáhodná postupnosť čísel je postupnosť počítaná podľa nejakého algoritmu, t. j. je deterministická, a navyše spĺňa niektoré ďalšie vlastnosti, ktoré nie sú presne určené, teda jej definícia nie je exaktná. Môže byť nekonečná (t. j. výpočet môžeme prevádzať teoreticky bez obmedzenia) alebo konečná (t. j. po konečnom počte krokov sa začína opakovať). Od nekonečnej pseudonáhodnej postupnosti v intervale požadujeme, aby bola rovnomerne rozdelená, ale aj jej dvojice, trojice, atď. t. j. aby bola completely uniformly distributed (Knuthova podmienka pre pseudonáhodnosť). Ďalej sú požiadavky na jej diskrepanciu, aby postupnosť bola tzv. low discrepancy sequence. Pre diskrétne postupnosti Ch. Mauduit a A. Sárkózy (1997) zaviedli ďalšie miery pseudonáhodnosti tzv. well–distribution measure a correlation measure. Najdôležitejšie známe pseudonáhodné postupnosti sú: konečné pseudonáhodné postupnosti – lineárne kongruentiálne postupnosti, LFSR postupnosti, kvadratické kongruentiálne postupnosti, mocninné kongruentiálne postupnosti (špeciálne Blum–Blum–Shub generátory), inverzné kongruentiálne postupnosti, binárne postupnosti napr. Champernowne postupnosti, Thue–Morse postupnosti, Rudinove–Shapirove postupnosti atď). Našou úlohou je zostrojiť nové generátory pseudonáhodných čísel a nové kritéria pseudonáhodnosti. Špeciálne budeme skúmať kombináciu van der Corputovej postupnosti a kvadratického generátora. Ďalej pomocou teórie dynamických systémov budeme skúmať postupnosti generované funkciou sun on digits, ktorá obsahuje váhové koeficienty. Pri použití teórie dynamických systémov na túto postupnosť zostrojíme špeciálny dynamický systém, ktorý bude ergodický, dvojparametrový, odkiaľ dostaneme rovnomerné rozdelenie takejto postupnosti. Budeme tiež študovať vzťahy medzi maximami on digits funkcie a counting funkcie (obe sú rastúce) vychádzajú z empirického pozorovania, že čím rýchlejšie rastie jedna funkcia tým pomalšie druhá. Ďalšia úloha je v oblasti tzv. blokových postupností. Postupnosti zložené z blokov slúžia na modelovanie rôznych typov rozdelenia postupností. Boli nájdené kritéria rovnomerného rozdelenia, a tiež základné vlastnosti množiny distribučných funkcii špeciálnych blokových postupností x_n=(x₁/x_n,x₂/x_n,....x_n/x_n). Ďalšou úlohou je nájsť ďalšie vlastnosti množiny týchto distribučných funkcií a ďalšie kritéria hustého rozloženia x_m/x_n.

2. Pod hustotou na množine prirodzených čísel rozumieme každú nezápornú mieru. Základnou hustotou je tzv. asymptotická hustota, Buckova hustota, rovnomerná hustota, logaritmická hustota, váhové hustoty, hustoty vzhľadom k sumačným metódam, špeciálne hustoty vzhľadom k maticovým sumačným metódam a ďalšie. Poznáme tiež tzv. Abelovu hustotu, zeta hustotu, Schnirelmanovu hustotu. Pomocou týchto hustôt môžeme definovať rôzne typy rovnomerného rozdelenia. Pomocou hustoty môžeme definovať aj konvergenciu. To je prípad tzv. I–konvergencie podľa ideálu I, napríklad podľa ideálu nulových množín v zmysle nejakej hustoty. Konkrétne tak dostaneme štatistické konvergenciu, I_u–konvergenciu prislúchajúcu k rovnomernej hustote u, atď. Ďalším typom konvergencií sú almost konvergencia, strong p–Ceasaro konvergencia, φ–konvergencia atď. Medzi množinami takto konvergujúcich postupnosti sú študované inklúzie z hľadiska kategórie a topológie. Úlohou je nájsť nové vzťahy medzi rovnomerne rozdelenými postupnosťami podľa rôznych hustôt. Tiež nájsť nové vzťahy medzi rôznymi typmi konvergentných postupností a nájsť nové vlastnosti aritmetických a multiplikatívnych funkcií  napr. Ω, ω, ord_p(n) a iných.